生きてる間は大ごとにしたくないので何もしない。しかし自分が死んだ後は申し訳無いので遺言書で認知して相続権を与える。一見婚外子を認知する美談のようですが。まぁ死んだ本人は何もわからないのでいいんです。残された側は地獄です。子どもは相続人になりますが母親は不貞相手として慰謝料の請求を受けることもあり得ます。今回は不貞の慰謝料だけなのでおそらく高額にはなりません（おそらく数十万円）が自分の悪事を公表することになり、死後に信用がガタ落ちになります。
本人が認めていますので嫡出子とその母親が認知を認めれば成立します。
民法第７８１条
１．認知は、戸籍法の定めるところにより届け出ることによってする。
２．認知は、遺言によっても、することができる。
戸籍法第６４条に遺言認知は遺言執行者が届出をしなくはいけません。遺言書で遺言執行者が選任されていない場合は家庭裁判所でまず選任をしなければいけません。
戸籍法第６４条
遺言による認知の場合には、遺言執行者は、その就職の日から１０日以内に、認知に関する遺言の謄本を添附して、第６０条又は第６１条の規定に従つて、その届出をしなければならない。
あまり使い勝手がいいものでは無いように感じますが規程としてありますので興味のある方はぜひご利用ください。
